Um relatório sobre a análise de dados obtidas através do experimento virtual de Forças Variáveis do FisFoto
Introdução
O experimento consiste na queda de uma esfera através de um tubo de óleo com viscosidade (0,93g/cm³) para situações onde o diâmetro e o massa das esferas são mudados (discutiremos isso mais adiante) .Nosso objetivo é encontrar um ajuste adequado através da análise da lei de Stokes e a partir daí obter parâmetros cujos resultados nos serão dados através dos gráficos plotados via WebRoot.
Programas e sites utilizados:
1- O experimento virtual Força Variável;
2- webROOT para os gráficos;
3- Excel para a análise dos valores obtidas nos parâmetros dos gráficos.
Programas e sites utilizados:
1- O experimento virtual Força Variável;
2- webROOT para os gráficos;
3- Excel para a análise dos valores obtidas nos parâmetros dos gráficos.
A parte teórica do experimento: Encontrando os parâmetros
Queremos encontrar a função que rege o experimento. Para analisarmos o gráfico da Posição(cm) X Tempo (s) é preciso achar o ajuste correto através do estudo da força presente durante a queda da esfera no óleo. A partir daí conseguiremos a função ajuste do experimento e utilizando-a seremos capazes de determinar os valores parametrizados desta função através da análise feita pelo webROOT.
Sabemos que pela lei de Stokes :
Fa
Rearranjando os termos da equação acima
E nomeando as variáveis alfa e beta como
Temos agora que resolver a equação diferencial e integrar em função do tempo para achar a velocidade.
O resultado da integral acima nos dá:
Aplicando condições de contorno da velocidade:
encontramos
Assim, temos a velocidade em função do tempo:
Integrando novamente para acharmos a posição em função do tempo:
Aplicando as condições de contorno da posição:
Encontramos:
Por fim
que é a função que queremos usar para o ajuste no webROOT.
No webROOT escrevemos a função acima deste modo:
onde:
Análise de dados e imagens
Extraindo os dados das fotos
Com o auxílio do programa Paint, estimamos o centro da esfera e medimos sua posição. O tempo já foi dado na própria foto. A imagem abaixo mostra como foi feito este procedimento.
Como mencionado na Seção da parte teórica, obteremos os valores de posição e seu respectivo tempo. Estes são os valores que usamos nos gráficos.
Na Tabela abaixo temos os dados das situações
Para cada situação temos cerca de 10 a 20 fotos disponibilizadas pelo site. A seguir temos um exemplo de valores encontrados para a situação IV através da análise destas imagens.
Escolhemos fazer dois tipos de análise, um deles usando o teste de Chi² como teste estatístico para verificação de ajuste e o outro tipo usando o Chi² para estimar a melhor incerteza dos dados. Nossos resultados são como se seguem.
Análise dos gráficos
Situação I
Para esta situação escolhemos usar o Chi² como base para o cálculo da melhor incerteza dos dados, que resultou em 0,02cm. Pelo gráfico de resíduos nota-se que os dados estão bem distribuídos em torno do ajuste, mostrando que a teoria segue bem os dados experimentais.
Os valores dos ajustes retornados são bem condizentes com os valores esperados: 2,95(2)cm para a posição inicial e 5,5+/-1,9 cm/s. E o valor calculado da viscosidade resultou em 154(19) cSt, valor abaixo do esperado para a temperatura, que deveria ser entre 210 cSt e 400 cSt para 25°C.
Situação II
Fazendo o mesmo procedimento da análise anterior, a incerteza também ficou em 0,02cm. E como evidencia os resíduos, não há nenhuma tendência, mostrando que o ajuste está adequado.
Os parâmetros retornaram: 3,36(3)cm para a posição inicial, compatível com o que vemos nas fotos dessa situação, e -3,3+/-1,8 cm/s para a velocidade inicial, mostrando que o jeito que o experimentador soltou a esfera pode ter influenciado bastante nesses dados. E por fim, a viscosidade calculada foi 124(10) cSt, também abaixo do esperado como mencionado anteriormente.
Situação III
Para esta situação, podemos ver que o Chi² é quase a metade no Número de Graus de Liberdade, mostrando que podemos ter superestimado as incertezas em um fator 2. Porém o gráfico de resíduos não mostra tendência, assim olhando apenas para a estatística, podemos concluir que esse é um bom ajuste.
A parte teórica do experimento: Encontrando os parâmetros
Queremos encontrar a função que rege o experimento. Para analisarmos o gráfico da Posição(cm) X Tempo (s) é preciso achar o ajuste correto através do estudo da força presente durante a queda da esfera no óleo. A partir daí conseguiremos a função ajuste do experimento e utilizando-a seremos capazes de determinar os valores parametrizados desta função através da análise feita pelo webROOT.
Fa
Rearranjando os termos da equação acima
E nomeando as variáveis alfa e beta como
Aplicando condições de contorno da velocidade:
encontramos
Integrando novamente para acharmos a posição em função do tempo:
Aplicando as condições de contorno da posição:
Por fim
que é a função que queremos usar para o ajuste no webROOT.
No webROOT escrevemos a função acima deste modo:
onde:
Extraindo os dados das fotos
Com o auxílio do programa Paint, estimamos o centro da esfera e medimos sua posição. O tempo já foi dado na própria foto. A imagem abaixo mostra como foi feito este procedimento.
Como mencionado na Seção da parte teórica, obteremos os valores de posição e seu respectivo tempo. Estes são os valores que usamos nos gráficos.
Para cada situação temos cerca de 10 a 20 fotos disponibilizadas pelo site. A seguir temos um exemplo de valores encontrados para a situação IV através da análise destas imagens.
Análise dos gráficos
Para esta situação escolhemos usar o Chi² como base para o cálculo da melhor incerteza dos dados, que resultou em 0,02cm. Pelo gráfico de resíduos nota-se que os dados estão bem distribuídos em torno do ajuste, mostrando que a teoria segue bem os dados experimentais.
Os valores dos ajustes retornados são bem condizentes com os valores esperados: 2,95(2)cm para a posição inicial e 5,5+/-1,9 cm/s. E o valor calculado da viscosidade resultou em 154(19) cSt, valor abaixo do esperado para a temperatura, que deveria ser entre 210 cSt e 400 cSt para 25°C.
Fazendo o mesmo procedimento da análise anterior, a incerteza também ficou em 0,02cm. E como evidencia os resíduos, não há nenhuma tendência, mostrando que o ajuste está adequado.
Os parâmetros retornaram: 3,36(3)cm para a posição inicial, compatível com o que vemos nas fotos dessa situação, e -3,3+/-1,8 cm/s para a velocidade inicial, mostrando que o jeito que o experimentador soltou a esfera pode ter influenciado bastante nesses dados. E por fim, a viscosidade calculada foi 124(10) cSt, também abaixo do esperado como mencionado anteriormente.
Situação III
Para esta situação, podemos ver que o Chi² é quase a metade no Número de Graus de Liberdade, mostrando que podemos ter superestimado as incertezas em um fator 2. Porém o gráfico de resíduos não mostra tendência, assim olhando apenas para a estatística, podemos concluir que esse é um bom ajuste.
Porém, quando vemos os resultados dos parâmetros ajustados, observa-se que os valores são bem diferentes do esperado, ou seja, eles não descrevem o que acontece no experimento.
Situação IV
O Chi² muito baixo indica uma incerteza possivelmente
superestimada. Porém o valor 0,1cm é razoável, uma vez que a medida foi feita
através da foto de uma régua milimetrada e 0,05cm (metade da menor divisão)
seria uma precisão muito alta para a qualidade da foto e para o arranjo
experimental.
Dos parâmetros
ajustados, temos a posição inicial resultando em 2,91(10)cm compatível com a
posição indicada na foto, e a velocidade inicial resultou num valor bem
inesperado -22,9+/-5,5, esse valor de velocidade difere muito dos gráficos
anteriores e provavelmente não corresponde a um valor aceitável para o que
acontece no experimento. Por fim, a viscosidade resultou em 64(10) cSt, valor
bem distante do esperado para a temperatura. Apesar de termos mudado o
deslocamento para o "tempo zero", podemos ver que esse ajuste não
retornou valores físicos compatíveis com os esperados, exceto pela posição
inicial.
Situação V
O gráfico dessa situação mostra que o ajuste, mesmo sem a reconsideração do deslocamento do tempo fica muito bom, visto que o Chi² é um número bem próximo do número de graus de liberdade, indicando que tanto as incertezas quanto o modelo utilizado no ajuste estão de acordo com os dados experimentais, também o gráfico de resíduos mostra esse fato, onde somente os dois primeiros pontos (referentes ao movimento inicial turbulento) ficam longe do ajuste proposto.
A matriz de correlação mostra que os parâmetros são pouco correlacionados entre si (~0,3) mas negativamente uns em relação aos outros. Por outro lado, percebe-se que o valor calculado pelo programa para os parâmetros tem informações bastante desconexas com a realidade, visto que o parâmetro [0] deveria retornar a posição inicial que nas fotos é em torno de 32mm, e no ajuste é um valor diferente do esperado e com precisão bem alta, também a velocidade inicial, mostrada no parâmetro[1], tem um valor fora do esperado, visto que a velocidade inicial teoricamente deveria ser bem próxima de zero. Por fim, ainda do parâmetro [3] podemos calcular o valor da viscosidade do fluido, em centiStokes temos: 14(23)*10² cSt sendo que o esperado para 25° seria entre 400cSt e 210cSt.
Concluindo, esse ajuste nos mostra que do ponto de vista estatístico está tudo correto e bem condizente com o esperado, porém quando vamos interpretar os resultados os valores são muito diferentes e não condizem com a física estudada. Por isso na próxima situação resolvemos mudar a abordagem.
Concluindo, esse ajuste nos mostra que do ponto de vista estatístico está tudo correto e bem condizente com o esperado, porém quando vamos interpretar os resultados os valores são muito diferentes e não condizem com a física estudada. Por isso na próxima situação resolvemos mudar a abordagem.
Situação VI
Aqui temos um gráfico com os pontos referentes ao tempo deslocado para o "tempo inicial zero", pois nossa função de ajuste prevê que se conheça o valor no tempo inicial. Nesse caso o teste de Chi² nos serviu para estimar melhor a incerteza dos dados, visto que se continuássemos com a incerteza de 0,1cm o Chi² retornava um valor quase dez vezes menor que o número de graus de liberdade. Assim, a incerteza calculada foi de 0,03cm.
Aqui percebe-se que o gráfico de resíduos não tem estrutura nenhuma, e diferentemente da situação 5, até primeiros pontos estão mais próximos do ajuste proposto. O importante ressaltar é que nesse caso, os valores retornados dos parâmetros fazem sentido físico, pois a posição inicial fica em 2,60(3)cm e a velocidade inicial fica em (6,1+/-2,2) cm/s, bem de acordo com os valores esperados para o experimento nessa situação VI. Também, quando calculada a viscosidade, temos o valor de 166(35)cSt que ainda não é o ideal para a temperatura, mas que já se aproxima dos valores mais realistas para a grandeza.
Situação VII
Para esta situação também usamos o Chi² para estimar a melhor incerteza dos nossos dados, que foi de 0,02cm. Vemos que o ajuste ficou adequado pois o gráfico de resíduos não mostra nenhuma tendência, ou seja, existem pontos acima e abaixo do ajuste homogeneamente.
Aqui vemos que a posição inicial 2,42(3)cm é bastante compatível com a foto dessa situação e o curioso é a velocidade inicial ter retornado negativamente -5,3+/-1,7cm/s, o que pode ser explicado pelo jeito que o experimentador soltou a pinça na hora de liberar a esfera no óleo. Por fim, o valor da viscosidade ficou em 172(10) cSt também um pouco abaixo dos valores esperados, como mencionado antes.
Situação VIII
Repetindo o procedimento da situação anterior, encontramos a incerteza calculada de 0,02cm também. Novamente, o gráfico de resíduos não mostra nenhuma tendência, mostrando um bom ajuste teórico aos dados experimentais.
Novamente a posição inicial ficou bastante condizente com o mostrado na figura dessa situação 2,75(2)cm e a velocidade inicial 8,8+/-1,7cm/s, essa velocidade pode ser alta um pouco alta para o esperado, mas também é explicada pelo modo como o experimentador soltou a esfera com a pinça. Por fim, a viscosidade calculada do parâmetro [3] resultou em 181(22) cSt, também abaixo do esperado para a temperatura estimada.
Conclusão
Percebemos que a análise estatística do experimento pode ser focada em duas frentes diferentes, ou pelo teste de Chi², mostrando que o ajuste é o melhor para os dados, ou pela estimativa certa da incerteza que faz com que as grandezas Chi² e Número de Graus de Liberdade fiquem iguais, fazendo a análise de ajuste correto apenas pelo gráfico de resíduos.
Notamos também que nem sempre um bom ajuste mostrado pelo teste de Chi² (Situação V) retorna valores físicos corretos para o experimento, então devemos sempre casar as informações estatísticas e físicas de forma a obter um resultado relevante para o experimento. Por exemplo, as viscosidades calculadas ficaram um pouco abaixo dos valores tabelados para a temperatura, mas na ordem de grandeza esperada, e as posições iniciais foram bastante próximas do que se pode estimar pelas fotografias das respectivas situações.
